Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→作りたい関数の方針〜求めるべき係数) |
(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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上記のようなことをみたす関数を考えると<ymath>$ a^{-x^{2}} $</ymath>のような関数であれば急激に0に近づく関数として適切であることが、予想できます。例えば<ymath>$ a = 2 $</ymath>と固定してみた場合<ymath>$ x $</ymath>が<ymath>$ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, $</ymath>…のように変化すると、<ymath>$ 2^{-(16=(-4)*(-4))}=\frac{1}{2^{16}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{0}=1, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-16}=\frac{1}{2^{16}} $</ymath>となることから予想は概ね正しいと言えることが分かってもらえると思います。 | 上記のようなことをみたす関数を考えると<ymath>$ a^{-x^{2}} $</ymath>のような関数であれば急激に0に近づく関数として適切であることが、予想できます。例えば<ymath>$ a = 2 $</ymath>と固定してみた場合<ymath>$ x $</ymath>が<ymath>$ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, $</ymath>…のように変化すると、<ymath>$ 2^{-(16=(-4)*(-4))}=\frac{1}{2^{16}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{0}=1, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-16}=\frac{1}{2^{16}} $</ymath>となることから予想は概ね正しいと言えることが分かってもらえると思います。 | ||
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| − | とイメージだけでは怪しいので、確率密度関数に<ymath>$ (x - \mu)^2 $</ymath> | + | とイメージだけでは怪しいので、確率密度関数に<ymath>$ (x - \mu)^2 $</ymath>をかけたモノを積分するだけで分散が求まるのか、ここでも確認をしてみたいと思います。分散はデータを2乗したものの平均から平均値を2乗したものを引く<ymath> $ \sigma^2=\overline{\text{x}^{2}} -\overline{\text{x}}^{2} $</ymath> で求めることができます。本当にそれでも分散が算出できるのかについても触れないといけないですね。ここで<ymath>$ \overline{\text{x}} $</ymath>は全部のデータ<ymath>$ \text{x} $</ymath>に対するの平均を意味します。オーバーラインの下にあるモノに対しての平均になります。<ymath>$ x $</ymath>は一つのデータで、与えられた<ymath>$ x $</ymath>は分布関数<ymath>$ f(x) $</ymath>の値によって表現される全体のデータ出現頻度に相当する数値となり、<ymath>$ x $</ymath>のときの<ymath>$ f(x) $</ymath>で囲われる面積によって確率が決定されるものなのでした。このことを踏まえて、説明を続けます。 |
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\end{align} | \end{align} | ||
$$</ymath> </big> | $$</ymath> </big> | ||
| − | + | 分散は個別のデータと平均値を引いたモノについて2乗して、それぞれ和にしたものをデータ数で割ったモノと定義されていますから、 | |
<big><ymath>\[ xの分散 \sigma^2 = \frac{(a-\overline{x})^2+ (b-\overline{x})^2 + (c-\overline{x})^2 + (d-\overline{x})^2}{4} \]</ymath> </big> | <big><ymath>\[ xの分散 \sigma^2 = \frac{(a-\overline{x})^2+ (b-\overline{x})^2 + (c-\overline{x})^2 + (d-\overline{x})^2}{4} \]</ymath> </big> | ||
となって、上記の2乗になっている部分を展開すると分配法則の<ymath>$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $</ymath>を利用して | となって、上記の2乗になっている部分を展開すると分配法則の<ymath>$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $</ymath>を利用して | ||
