Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ

<span style= "background: linear-gradient(transparent 70%, #c1e0ff 70%);">確率密度関数</span>は以下のように定義されます。

　上記のようなことをみたす関数を考えると<ymath>$ a^{-x^{2}} $</ymath>のような関数であれば急激に0に近づく関数として適切であることが、予想できます。例えば<ymath>$ a = 2 $</ymath>と固定してみた場合<ymath>$ x $</tmath>が<ymath>$ -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, $</ymath>…のように変化すると、<ymath>$ 2^{-(16=(-4)*(-4))}=\frac{1}{2^{16}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{0}=1, 2^{-1}=\frac{1}{2^{1}}, 2^{-4}=\frac{1}{2^{4}}, 2^{-9}=\frac{1}{2^{9}}, 2^{-16}=\frac{1}{2^{16}} $</ymath>となることから予想は概ね正しいと言えることが分かってもらえると思います。

　というわけで、さらに積分して1にする必要があるため、積分が簡単なように冪乗の底となる<ymath>$ a $</ymath>を積分しやすいように考えられたネイピア数<ymath>$ e $</ymath>を底とするために、<ymath>$ a = e^{\log_e a} $</ymath>のような式を使うことを考えるようにしてみます。これは<ymath>$  e $</ymath>を<ymath>$  a $</ymath>乗したら<ymath>$  a $</ymath>になるような関係を示しているだけです。対数の<ymath>$  A = \log_e a $</ymath>は<ymath>$  e^{A} = a $</ymath>を<ymath>$  \log $</ymath>という表記方法にしたものです。対数は積の計算を和に還元するためにあります。<ymath>$  x^{a}x^{b} = x^{a+b} $</ymath>といったような指数法則を利用するものです。この時の<ymath>$ x $</ymath>を底と呼んでいて、対数的な考え方においては底という数字はなんでもいいのです。対数表のようなものから計算ができれば、巨大な積を和に還元できるからです。なので<ymath>$  \log_e $</ymath>のような複雑そうな底を使うことが基本になっています。<ymath>$  \log_{e} $</ymath>の<ymath>$ e $</ymath>を省略した<ymath>$  \log $</ymath>も<ymath>$  \log_{e} $</ymath>と同じものを表すことになっています。ネイピア数<ymath>$ e $</ymath>を対数の底にするのは実は複雑そうで意外と綺麗にまとまる値だからです。ちまちました計算で頭で理解しながら対数の仕組み確かめたい場合は常用対数のような<ymath>$  \log_{10} $</ymath>とかを使うのでしょう。でもそれは対数の仕組みを理解することが主な利用用途であることが多いです。一部常用対数で桁数を求めたりする用途もありますが、本来は<ymath>$  \log_{e} $</ymath>のような自然対数を使うことの方が、微分積分を多様する自然科学においての主な使い方になります。

　<ymath>$ a^{-x^{2}} = e^{-\log_ea x^{2}} $</ymath>の<ymath>$ A = \log_ea $</ymath>とおくと<ymath>$ a^{-x^{2}} = e^{-A x^{2}} $</ymath>

　上記のような表現をした時の<ymath>$  A $</ymath>を究明することが確率密度関数を見つけることになります。

| style= "font-weight: bold; background-color: #f2f6ff; white-space:nowrap; padding:10px; border: dotted 1px black;  border-radius: 10px;" | <big> <ymath>$$  \int e^{-Ax^2} \cdot dx = \sqrt{\frac{\pi}{A}} \tag{1} $$</ymath> </big>

　[[ネイピア数のマイナスx乗の2乗の積分]]の記事にて、その証明を記載します。

　証明を理解したとして、<ymath>$ (1) $</ymath>の式の両辺に<ymath>$ \sqrt{\frac{A}{\pi}} $</ymath>を掛けて

<big> <ymath>$$   \int \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-Ax^2} \cdot dx = \sqrt{\frac{\pi}{A}} \sqrt{\frac{A}{\pi}} = 1  $$</ymath> </big>

<big> <ymath>$$   \int \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A(x-\mu)^2} \cdot dx = 1  $$</ymath> </big>

<big><ymath>$$  \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\color{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big>

<big><ymath>$$  \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big>

となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して

<big><ymath>$$ \textcolor{green}{\int^{\infty}_{-\infty} z \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz} + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big>

<big><ymath>$$  0 + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big>

<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}  \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big>

<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz = 1 $$</ymath></big>

で、先程示された式は定数<ymath>$ \mu $</ymath>倍を使って積分する式<ymath>$ \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $</ymath>と表現することができ

　とイメージだけでは怪しいので、確率密度関数に<ymath>$ (x - \mu)^2  $</ymath>をかけたモノを積分するだけで分散が求まるのか、ここでも確認をしてみたいと思います。分散はデータを2乗したものの平均から平均値を引くこと<ymath> $ \sigma^2=\overline{\text{x}^{2}} -\overline{\text{x}}^{2} $</ymath> で求めることができます。本当にそれでも分散が算出できるのかについても触れないといけないですね。ここで<ymath>$ \overline{\text{x}} $</ymath>は全部のデータ<ymath>$ \text{x} $</ymath>に対するの平均を意味します。オーバーラインの下にあるモノに対しての平均になります。<ymath>$ x $</ymath>は一つのデータで、与えられた<ymath>$ x $</ymath>は分布関数<ymath>$ f(x) $</ymath>の値によって表現される全体のデータ出現頻度に相当する数値となり、<ymath>$ x $</ymath>のときの<ymath>$ f(x) $</ymath>で囲われる面積によって確率が決定されるものなのでした。このことを踏まえて、説明を続けます。

<big><ymath>$$ xの平均値 \overline{x} = \frac{a+b+c+d}{4} $$</ymath></big>

<big><ymath>$$ x^2の平均値 \overline{x^2} = \frac{a^2+b ^2 +c ^2 +d ^2}{4} $$</ymath> </big>

<big><ymath>$$ xの分散 \sigma^2 = \frac{(a-\overline{x})^2+ (b-\overline{x})^2 + (c-\overline{x})^2 + (d-\overline{x})^2}{4} $$</ymath> </big>

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{(a^2-2a\overline{x}+\overline{x}^2) + (b^2-2b\overline{x}+\overline{x}^2) + (c^2-2c\overline{x}+\overline{x}^2) + (d^2-2d\overline{x}+\overline{x}^2)}{4} $$</ymath></big>  

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})+\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4}  $$</ymath> </big>

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})}{4}+\frac{\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4}  $$</ymath></big>

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2)(a\overline{x}+b\overline{x}+c\overline{x}+d\overline{x})}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4}  $$</ymath> </big>

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2)\times\overline{x}\times\frac{a+b+c+d}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big>

<big><ymath>$$ 　　　　　  = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2\overline{x}^2)+\overline{x}^2 $$</ymath></big>

しばらくは工事中で、この説明に必要な数式を試す場所として利用します)。

　

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