Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
を上記のように適用すると | を上記のように適用すると | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cancel{\sigma}}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
| − | となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して | + | となります。<ymath>$ \sigma $</ymath>に斜線が入っているのは後で置換積分の間違いに気付いたもので、あえて記録を残しています。後ほど細かい説明をしています。 <span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して |
| − | <big><ymath>$$ \textcolor{green}{\int^{\infty}_{-\infty} z \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz} + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \textcolor{green}{\int^{\infty}_{-\infty} z \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz} + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi} \cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
上記のようになり、<span style="color: green;">2つの積分の和の構造の最初の積分の部分<span>(</span>緑<span>)</span></span>はちょっと確かめれば原点を通過する奇関数と呼ばれる形式になっています。要するに積分をすると0になるということです。グラフをプロットして確かめてみると以下の通りです。 | 上記のようになり、<span style="color: green;">2つの積分の和の構造の最初の積分の部分<span>(</span>緑<span>)</span></span>はちょっと確かめれば原点を通過する奇関数と呼ばれる形式になっています。要するに積分をすると0になるということです。グラフをプロットして確かめてみると以下の通りです。 | ||
[[ファイル: ZsigmaNormalDistdz ZeroEvi Fit.png |650px|||ゼロになることを示すグラフ]] | [[ファイル: ZsigmaNormalDistdz ZeroEvi Fit.png |650px|||ゼロになることを示すグラフ]] | ||
| − | <big><ymath>$$ 0 + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ 0 + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
と、上記のように定数<ymath>$ \mu $</ymath>倍を使って積分する式になります。そうすると上記の式から<ymath>$ \mu $</ymath>を除いた部分 | と、上記のように定数<ymath>$ \mu $</ymath>倍を使って積分する式になります。そうすると上記の式から<ymath>$ \mu $</ymath>を除いた部分 | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
は確率密度関数で積分<span>(</span>グラフのプロットとy=0に囲まれた部分面積を求める操作でマイナス領域とプラス領域の差し引きをする<span>)</span>をすると1になるものですから、最終的には | は確率密度関数で積分<span>(</span>グラフのプロットとy=0に囲まれた部分面積を求める操作でマイナス領域とプラス領域の差し引きをする<span>)</span>をすると1になるものですから、最終的には | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz = 1 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz = 1 $$</ymath></big> |
| − | で、先程示された式は定数<ymath>$ \mu $</ymath>倍を使って積分する式<ymath>$ \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $</ymath> | + | で、先程示された式は定数<ymath>$ \mu $</ymath>倍を使って積分する式<ymath>$ \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $</ymath>と表現することができます。<ymath>$ \sqrt{2 \pi}\sigma $</ymath>の<ymath>$ \sigma $</ymath>はあっても無くてもゼロでなければグラフでは高さと広がりかたが変化するだけで、確率密度関数の積分は1になります。 |
<big><ymath>$$ \mu \cdot 1 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \mu \cdot 1 $$</ymath></big> | ||
となりますから、元々の式の計算結果は平均値を意味する<ymath>$ \mu $</ymath>であると言えます。確率密度関数<ymath>$ f(x) $</ymath>を<ymath>$ x $</ymath>倍したものの積分は<ymath>$ \mu $</ymath>になることが確認でき、 | となりますから、元々の式の計算結果は平均値を意味する<ymath>$ \mu $</ymath>であると言えます。確率密度関数<ymath>$ f(x) $</ymath>を<ymath>$ x $</ymath>倍したものの積分は<ymath>$ \mu $</ymath>になることが確認でき、 | ||
