Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x^2(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x^2(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
| − | + | を上記のように適用すると、以降σに斜線が入っているところは置換積分の正しい手順のやり忘れの間違いでした。後で気付いたので、残しておこうと思います。後ほど解説もあります。うっかりうっかりです。知能不足である管理人(自分)の証拠の証拠として残しました。 | |
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z \cdot \sigma + \mu)^2 } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z \cdot \sigma + \mu)^2 } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
となって、<span>(</span>3<span>)</span>式の部分を<ymath>$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $</ymath>を適用して、 | となって、<span>(</span>3<span>)</span>式の部分を<ymath>$ (a+b)^2 = a^2+2ab+b^2 $</ymath>を適用して、 | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z^2 \cdot \sigma^2 + 2z\cdot \sigma \cdot \mu + \mu^2) } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z^2 \cdot \sigma^2 + 2z\cdot \sigma \cdot \mu + \mu^2) } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して | となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ \int^{\infty}_{-\infty} 2z\cdot \sigma \cdot \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \int^{\infty}_{-\infty} \mu^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ \int^{\infty}_{-\infty} 2z\cdot \sigma \cdot \mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \int^{\infty}_{-\infty} \mu^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
定数倍部分を積分の外に出しても問題ないので外に出した表記にしてみます。 | 定数倍部分を積分の外に出しても問題ないので外に出した表記にしてみます。 | ||
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 2\sigma\mu \cdot \int^{\infty}_{-\infty}z \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \mu^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 2\sigma\mu \cdot \int^{\infty}_{-\infty}z \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \mu^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
真ん中の項は先の平均値の算出でやったとおり奇関数なので積分をすると0です。一番後ろの項は積分の部分が確率密度関数そのものなので1になります。で一番最初の項目がどうなるかを考えないといけないです。まずは整理したものを以下に記述すると | 真ん中の項は先の平均値の算出でやったとおり奇関数なので積分をすると0です。一番後ろの項は積分の部分が確率密度関数そのものなので1になります。で一番最初の項目がどうなるかを考えないといけないです。まずは整理したものを以下に記述すると | ||
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 2\sigma\mu \cdot 0 + \mu^2 \cdot 1 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 2\sigma\mu \cdot 0 + \mu^2 \cdot 1 $$</ymath></big> |
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot \int^{\infty}_{-\infty} z^2 \cdot e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ 0 + \mu^2 $$</ymath></big> |
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot (\int^{\infty}_{-\infty}-z e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ \int^{\infty}_{-\infty} e^{-\frac{z^{2}}{2}} \cdot dz) + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot (\int^{\infty}_{-\infty}-z e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz+ \int^{\infty}_{-\infty} e^{-\frac{z^{2}}{2}} \cdot dz) + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> |
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot (0 + \sqrt{2\pi}) + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\cancel{\sigma}} \cdot (0 + \sqrt{2\pi}) + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> |
あれ？ | あれ？ | ||
<big><ymath>$$ \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | ||
