Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
上記の式が平均値を求める式で、それってあってるの？という探究の始まりした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | 上記の式が平均値を求める式で、それってあってるの？という探究の始まりした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\ | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> |
を上記のように適用すると | を上記のように適用すると | ||
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | ||
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<big><ymath>$$\sigma^{2} = \int (x-\mu)^{2} \cdot f(x) \cdot dx $$ </ymath> </big> | <big><ymath>$$\sigma^{2} = \int (x-\mu)^{2} \cdot f(x) \cdot dx $$ </ymath> </big> | ||
<ymath>$ (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2 $</ymath>のような計算を適用して展開すると | <ymath>$ (a - b)^2 = a^2 -2ab + b^2 $</ymath>のような計算を適用して展開すると | ||
| − | <big><ymath>$$ = \ | + | <big><ymath>$$ = \textcolor{red}{\int x^2 \cdot f(x) \cdot dx} - \textcolor{blue}{\int 2\mu x \cdot f(x) \cdot dx} + \textcolor{green}{\int \mu^{2} \cdot f(x) \cdot dx} $$ </ymath> </big> |
上記のように整理できて1項<span style="color:red;"><span>(</span>赤<span>)</span></span>はデータを2乗した平均の形になっており、2項<span style="color:blue;"><span>(</span>青<span>)</span></span>は<ymath>$2\mu \times$</ymath>期待値の形、3項<span style="color:green;"><span>(</span>緑<span>)</span></span>は<ymath>$ \int f(x) \cdot dx = 1 $</ymath>という確率密度関数の定義に従って<ymath>$ \mu^2 \times 1 $</ymath>となります。従って | 上記のように整理できて1項<span style="color:red;"><span>(</span>赤<span>)</span></span>はデータを2乗した平均の形になっており、2項<span style="color:blue;"><span>(</span>青<span>)</span></span>は<ymath>$2\mu \times$</ymath>期待値の形、3項<span style="color:green;"><span>(</span>緑<span>)</span></span>は<ymath>$ \int f(x) \cdot dx = 1 $</ymath>という確率密度関数の定義に従って<ymath>$ \mu^2 \times 1 $</ymath>となります。従って | ||
<big><ymath>$$ = E[\mathrm{X}^2] - 2\mu \times \mu + \mu^2 $$ </ymath> </big> | <big><ymath>$$ = E[\mathrm{X}^2] - 2\mu \times \mu + \mu^2 $$ </ymath> </big> | ||
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ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x^2(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\ | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x^2(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\textcolor{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> |
を上記のように適用すると | を上記のように適用すると | ||
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z \cdot \sigma + \mu)^2 } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} \textcolor{red}{(z \cdot \sigma + \mu)^2 } \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | ||
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<big><ymath>$$ \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | ||
| − | になるはずでこれに<ymath>$ \ | + | になるはずでこれに<ymath>$ \textcolor{red}{ E[\mathrm{X}^2]} \textcolor{black}{- E[\mathrm{X}]^2 =} \textcolor{red}{(\sigma^2+\mu^2)} \textcolor{black}{ - \mu^2 = \sigma^2} $</ymath>となる予定だったんすけど<ymath> $ \sqrt{2\pi}\sigma $</ymath>でσが一個、分母に余計に残った。おかしいなと思って他のサイト見てみたら他のサイトではしれっとσが消えてるとこもありました。神戸大学の人の文献のようです。神戸大学の人の文献では自信をもってσが分母から消えているので、計算は合っているのかもしれないが、自分のわからない理論で消えているのは確かだ。わからない。困った。こんなん考えてるの自分らくらいなので、なかなか自分の計算を助けてくれる文献には出会えない。残念だけど、暫く保留だな。所詮は放送大学卒の頭脳ってことだな。解ける人は解いてみて下さい。[http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/ 神戸大学 樋口教授のノート] > > >平成24年度後期の講義ノート<span>(</span>notes for 2012 autumn<span>)</span> > > > 確率論1 <span>(</span> Probability 1 <span>)</span>, 微分積分学2 <span>(</span> bibun-sekibun-gaku <span>)</span> > > >[http://www.math.kobe-u.ac.jp/HOME/higuchi/h24kogi/12prob1-5.pdf 11月2日講義ノート] の3ページ目から4ページ目にまたがるところが、自分の謎な部分。 |
しゅん…。 | しゅん…。 | ||
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<big><ymath>$$ \frac{dx}{dz} = \sigma $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \frac{dx}{dz} = \sigma $$</ymath></big> | ||
になるので、zで置換した積分の式に<ymath>$ \frac{dx}{dz}$</ymath>を掛けるのが置換積分ですから、以下のようになります。 | になるので、zで置換した積分の式に<ymath>$ \frac{dx}{dz}$</ymath>を掛けるのが置換積分ですから、以下のようになります。 | ||
| − | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \color{ | + | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \cdot \color{textred}{ \sigma } \textcolor{black}{ \cdot \int^{\infty}_{-\infty}-z e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz } $$</ymath></big> |
なので、 | なので、 | ||
<big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot (\int^{\infty}_{-\infty}-z e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \sigma^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \cdot (\int^{\infty}_{-\infty}-z e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | ||
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になります。なので、 | になります。なので、 | ||
<big><ymath>$$ E[\mathrm{X^2}] = \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ E[\mathrm{X^2}] = \sigma^2 + 0 + \mu^2 $$</ymath></big> | ||
| − | ですから、分散<ymath>$ V[X] = \ | + | ですから、分散<ymath>$ V[X] = \textcolor{red}{ E[\mathrm{X^2}] } - \textcolor{blue}{ E[\mathrm{X}]^2 } $</ymath>は |
| − | <big><ymath>$$ V[X] = \ | + | <big><ymath>$$ V[X] = \textcolor{red}{ \sigma^2 + 0 + \mu^2 } \textcolor{black}{-} \textcolor{blue}{\mu^2} $$</ymath></big> |
<big><ymath>$$ V[X] = \sigma^2 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ V[X] = \sigma^2 $$</ymath></big> | ||
となるので、 | となるので、 | ||
