Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→作りたい関数の方針〜求めるべき係数) |
(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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2乗したものの平均を確率密度関数から算出しようとすると | 2乗したものの平均を確率密度関数から算出しようとすると | ||
| − | <big><ymath>$$ E[\text{x}] = \int x f(x) \cdot dx $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ E[\text{x}] = \int x \cdot f(x) \cdot dx $$</ymath></big> |
で、データ<ymath>$ x $</ymath>を確率密度関数にかけるとデータ<ymath>$ x $</ymath>の平均値が算出できるので、<ymath>$ x^2 $</ymath>を確率密度関数にかけるとデータ<ymath>$ x^2 $</ymath>の平均値が算出できると言えます。そのことをグラフで確認したのが以下のグラフでプログラムで積分した値はデータを<ymath>$ x^2 $</ymath>したときの平均値になっています。 | で、データ<ymath>$ x $</ymath>を確率密度関数にかけるとデータ<ymath>$ x $</ymath>の平均値が算出できるので、<ymath>$ x^2 $</ymath>を確率密度関数にかけるとデータ<ymath>$ x^2 $</ymath>の平均値が算出できると言えます。そのことをグラフで確認したのが以下のグラフでプログラムで積分した値はデータを<ymath>$ x^2 $</ymath>したときの平均値になっています。 | ||
このことを利用してデータを2乗する<ymath>$ \text{x}^2 $</ymath>の平均値<ymath>$ E[\text{x}^2] $</ymath>は以下のように演算できます。 | このことを利用してデータを2乗する<ymath>$ \text{x}^2 $</ymath>の平均値<ymath>$ E[\text{x}^2] $</ymath>は以下のように演算できます。 | ||
| − | <big><ymath>$$ E[\text{x}^2] = \int x^2 f(x) \cdot dx $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ E[\text{x}^2] = \int x^2 \cdot f(x) \cdot dx $$</ymath></big> |
| − | <big><ymath>$$ = \int x^2 \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \cdot dx $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ = \int x^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2} \cdot dx $$</ymath></big> |
ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ここで、先の期待値の確認でもやったように<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
