Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ

　というわけで、さらに積分して1にする必要があるため、積分が簡単なように冪乗の底となる<ymath>$ a $</ymath>を積分しやすいように考えられたネイピア数<ymath>$ e $</ymath>を底とするために、<ymath>$ a = e^{\log_e a} $</ymath>のような式を使うことを考えるようにしてみます。これは<ymath>$  e $</ymath>を<ymath>$  a $</ymath>乗したら<ymath>$  a $</ymath>になるような関係を示しているだけです。対数の<ymath>$  A = \log_e a $</ymath>は<ymath>$  e^{A} = a $</ymath>を<ymath>$  \log $</ymath>という表記方法にしたものです。対数は積の計算を和に還元するためにあります。<ymath>$  x^{a}x^{b} = x^{a+b} $</ymath>といったような指数法則を利用するものです。この時の<ymath>$ x $</ymath>を底と呼んでいて、対数的な考え方においては底という数字はなんでもいいのです。対数表のようなものから計算ができれば、巨大な積を和に還元できるからです。なので<ymath>$  \log_e $</ymath>のような複雑そうな底を使うことが基本になっています。<ymath>$  \log_{e} $</ymath>の<ymath>$ e $</ymath>を省略した<ymath>$  \log $</ymath>も<ymath>$  \log_{e} $</ymath>と同じものを表すことになっています。ネイピア数<ymath>$ e $</ymath>を対数の底にするのは実は複雑そうで意外と綺麗にまとまる値だからです。ちまちました計算で頭で理解しながら対数の仕組み確かめたい場合は常用対数のような<ymath>$  \log_{10} $</ymath>とかを使うのでしょう。でもそれは対数の仕組みを理解することが主な利用用途であることが多いです。一部常用対数で桁数を求めたりする用途もありますが、本来は<ymath>$  \log_{e} $</ymath>のような自然対数を使うことの方が、微分積分を多様する自然科学においての主な使い方になります。

　<ymath>$ a^{-x^{2}} = e^{-\log_ea x^{2}} $</ymath>の<ymath>$ A = \log_ea $</ymath>とおくと<ymath>$ a^{-x^{2}} = e^{-A x^{2}} $</ymath>

　上記のような表現をした時の<ymath>$  A  $</ymath>を究明することが確率密度関数を見つけることになります。

| style= "font-weight: bold; background-color: #f2f6ff; white-space:nowrap; padding:10px; border: dotted 1px black;  border-radius: 10px;" | <big> <ymath>$$  \int e^{-Ax^2} \cdot dx = \sqrt{\frac{\mathstrut\pi}{\mathstrut A}} \tag{1} $$</ymath> </big>

　証明を理解したとして、<ymath>$ (1) $</ymath>の式の両辺に<ymath>$ \sqrt{\frac{A}{\pi}} $</ymath>を掛けて

<big> <ymath>$$  \int \sqrt{\frac{\mathstrut A}{\mathstrut\pi}} e^{-Ax^2} \cdot dx = \sqrt{\frac{\mathstrut\pi}{\mathstrut A}}\sqrt{\frac{\mathstrut A}{\mathstrut\pi}} = 1  $$</ymath> </big>

<big> <ymath>$$  \int \sqrt{\frac{A}{\pi}} e^{-A(x-\mu)^2} \cdot dx = 1  $$</ymath> </big>