Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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<ymath> $ \sigma^2=\overline{\text{x}^{2}} -\overline{\text{x}}^{2} $</ymath>が成り立つことについての確認として、4つのデータ<ymath>$ x =$</ymath>個別のデータ変数<ymath>${a,b,c,d} $</ymath>においては | <ymath> $ \sigma^2=\overline{\text{x}^{2}} -\overline{\text{x}}^{2} $</ymath>が成り立つことについての確認として、4つのデータ<ymath>$ x =$</ymath>個別のデータ変数<ymath>${a,b,c,d} $</ymath>においては | ||
| − | <big><ymath>$$ xの平均値 \overline{x} = \frac{a+b+c+d}{4} $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ xの平均値 \overline{x} = \frac{ a+b+c+d}{4} $$</ymath></big> |
個別のデータを2乗したものを平均化する | 個別のデータを2乗したものを平均化する | ||
| − | <big><ymath>$$ x^2の平均値 \overline{x^2} = \frac{a^2+b ^2 +c ^2 +d ^2}{4} $$</ymath> </big> | + | <big><ymath>$$ x^2の平均値 \overline{x^2} = \frac{ a^2+b ^2 +c ^2 +d ^2}{4} $$</ymath> </big> |
分散は個別のデータと平均値を引いたモノについてそれぞれ和にしたものをデータ数で割ったモノと定義されていますから、 | 分散は個別のデータと平均値を引いたモノについてそれぞれ和にしたものをデータ数で割ったモノと定義されていますから、 | ||
<big><ymath>$$ xの分散 \sigma^2 = \frac{(a-\overline{x})^2+ (b-\overline{x})^2 + (c-\overline{x})^2 + (d-\overline{x})^2}{4} $$</ymath> </big> | <big><ymath>$$ xの分散 \sigma^2 = \frac{(a-\overline{x})^2+ (b-\overline{x})^2 + (c-\overline{x})^2 + (d-\overline{x})^2}{4} $$</ymath> </big> | ||
となって、上記の2乗になっている部分を展開すると分配法則の<ymath>$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $</ymath>を利用して | となって、上記の2乗になっている部分を展開すると分配法則の<ymath>$ (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $</ymath>を利用して | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{(a^2-2a\overline{x}+\overline{x}^2) + (b^2-2b\overline{x}+\overline{x}^2) + (c^2-2c\overline{x}+\overline{x}^2) + (d^2-2d\overline{x}+\overline{x}^2)}{4} $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{( a^2-2a\overline{x}+\overline{x}^2) + (b^2-2b\overline{x}+\overline{x}^2) + (c^2-2c\overline{x}+\overline{x}^2) + (d^2-2d\overline{x}+\overline{x}^2)}{4} $$</ymath></big> |
となります。分子をデータの2乗のグループと<ymath>$ \overline{x} $</ymath>のグループと<ymath>$ \overline{x^2} $</ymath>のグループで整理すると | となります。分子をデータの2乗のグループと<ymath>$ \overline{x} $</ymath>のグループと<ymath>$ \overline{x^2} $</ymath>のグループで整理すると | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2+(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})+\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4} $$</ymath> </big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{ a^2+b^2+c^2+d^2+(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})+\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4} $$</ymath> </big> |
ここで、グループ毎に分数表記を分けます。 | ここで、グループ毎に分数表記を分けます。 | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})}{4}+\frac{\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{ a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2a\overline{x})+(-2b\overline{x})+(-2c\overline{x})+(-2d\overline{x})}{4}+\frac{\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2 +\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> |
真ん中のグループはどれも−2倍されていますからこれを纏めます。分配法則の<ymath>$ (ab+ac)=a(b+c) $</ymath>を利用します。最後のグループでは<ymath>$ \overline{x}^2 $</ymath>を4回足すので4倍と同じことですので、表記を4倍で書き換えます。 | 真ん中のグループはどれも−2倍されていますからこれを纏めます。分配法則の<ymath>$ (ab+ac)=a(b+c) $</ymath>を利用します。最後のグループでは<ymath>$ \overline{x}^2 $</ymath>を4回足すので4倍と同じことですので、表記を4倍で書き換えます。 | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2)(a\overline{x}+b\overline{x}+c\overline{x}+d\overline{x})}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath> </big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{ a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2)(a\overline{x}+b\overline{x}+c\overline{x}+d\overline{x})}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath> </big> |
真ん中のグループはどれも<ymath>$ \overline{x} $</ymath>倍されているのでこれも纏めます。括り出すとも言います。 | 真ん中のグループはどれも<ymath>$ \overline{x} $</ymath>倍されているのでこれも纏めます。括り出すとも言います。 | ||
<big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2)\times\overline{x}(a+b+c+d)}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+\frac{(-2)\times\overline{x}(a+b+c+d)}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> | ||
真ん中のグループの分数部分の積の部分を外に出して書き方を少し変えます。わかりやすくする為です。 | 真ん中のグループの分数部分の積の部分を外に出して書き方を少し変えます。わかりやすくする為です。 | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2)\times\overline{x}\times\frac{a+b+c+d}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{ a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2)\times\overline{x}\times\frac{a+b+c+d}{4}+\frac{4\overline{x}^2}{4} $$</ymath></big> |
そうすると真ん中のグループの分数部分はデータの平均と同じ形<ymath>$ \overline{x} $</ymath>なので、書き換え、最後のグループは約分します。 | そうすると真ん中のグループの分数部分はデータの平均と同じ形<ymath>$ \overline{x} $</ymath>なので、書き換え、最後のグループは約分します。 | ||
<big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2)\times\overline{x}\times\overline{x}+\frac{\cancel{4}\overline{x}^2}{\cancel{4}} $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2)\times\overline{x}\times\overline{x}+\frac{\cancel{4}\overline{x}^2}{\cancel{4}} $$</ymath></big> | ||
真ん中のグループは<ymath>$ \overline{x} $</ymath>同志の積があるので、べき乗を使った表記にします。 | 真ん中のグループは<ymath>$ \overline{x} $</ymath>同志の積があるので、べき乗を使った表記にします。 | ||
| − | <big><ymath>$$ = \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2\overline{x}^2)+\overline{x}^2 $$</ymath></big> | + | <big><ymath>$$ = \frac{ a^2+b^2+c^2+d^2}{4}+(-2\overline{x}^2)+\overline{x}^2 $$</ymath></big> |
一番最初のグループはデータを2乗したものの平均なので<ymath>$ \overline{x^2} $</ymath>と表して、残った項目の整理をすると<ymath>$ -2a+a=-a$</ymath>と同じような演算を適用して | 一番最初のグループはデータを2乗したものの平均なので<ymath>$ \overline{x^2} $</ymath>と表して、残った項目の整理をすると<ymath>$ -2a+a=-a$</ymath>と同じような演算を適用して | ||
<big><ymath>$$ = \overline{x^2}-\overline{x}^2 $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ = \overline{x^2}-\overline{x}^2 $$</ymath></big> | ||
