Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
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(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
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<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
上記の式が平均値を求める式で、それってあってるの？という探究の始まりした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | 上記の式が平均値を求める式で、それってあってるの？という探究の始まりした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\color{blue}{\sigma^{2}}}\ | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty}\textcolor{red}{x(←(3)式)} \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\color{blue}{\sigma^{2}}}\textcolor{blue}{(x-\mu)^{2}(←(2)式)}}\cdot dx $$</ymath></big> |
を上記のように適用すると | を上記のように適用すると | ||
| − | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\ | + | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} (\textcolor{red}{z \cdot \sigma + \mu}) \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{\textcolor{blue}{z^{2}}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> |
となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して | となります。<span>(</span>2<span>)</span>式は<ymath>$ \frac{1}{\sigma^{2}}(x-\mu)^{2} $</ymath>を<ymath>$ z^{2} $</ymath>と置き換えてます。そして上記の式を分配法則<ymath>$ (a + b)x = ax + bx $</ymath>のような計算と同じ要領を適用して | ||
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} z \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} z \cdot \sigma \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz + \int^{\infty}_{-\infty}\mu \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{z^{2}}{2}}\cdot dz $$</ymath></big> | ||
