Python matplotlibを使って学ぶ統計処理 正規分布 新しいページはコチラ
提供: yonewiki
(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
(→求めるべき係数の算出の前に〜確率密度関数から考える期待値・平均値と分散値について) |
||
| 87行: | 87行: | ||
確率密度関数で積分して1となる面積にデータである<ymath>$ x $</ymath>を掛ければ面積が平均値と一致します。確率密度の関数のパラメータの<ymath>$ \sigma $</ymath>を<ymath>$ 1 $</ymath>に固定すれば、上記のグラフのように<ymath>$ \mu $</ymath>がプラスの時は上側にコブが出来るグラフでマイナスのときは下側にコブが出来るグラフになります。もちろん面積は<ymath>$ \mu $</ymath>と同じ値になります。<ymath>$ \mu $</ymath>が大きいほど大きいコブになって面積が大きくなっていきます。マイナス側も同じで小さくなるほど、コブが下向きで大きくなってマイナスの面積が大きくなります。<ymath>$ \mu $</ymath>が<ymath>$ 0 $</ymath>のときだけ、<ymath>$ f(x)=-x $</ymath>のグラフで対称となる小さなコブができた状態でプラス側では上向きにマイナス側では下向きにコブができます。面積合計は打ち消しあって0になります。なんで、正規分布の積分をする前の<ymath>$ f(x) $</ymath>に対して<ymath>$ x $</ymath>をかけてから積分すると、これほど都合よく平均値と一致させることができるのか？確かめる必要があります。では少し確認してみることにしましょう。 | 確率密度関数で積分して1となる面積にデータである<ymath>$ x $</ymath>を掛ければ面積が平均値と一致します。確率密度の関数のパラメータの<ymath>$ \sigma $</ymath>を<ymath>$ 1 $</ymath>に固定すれば、上記のグラフのように<ymath>$ \mu $</ymath>がプラスの時は上側にコブが出来るグラフでマイナスのときは下側にコブが出来るグラフになります。もちろん面積は<ymath>$ \mu $</ymath>と同じ値になります。<ymath>$ \mu $</ymath>が大きいほど大きいコブになって面積が大きくなっていきます。マイナス側も同じで小さくなるほど、コブが下向きで大きくなってマイナスの面積が大きくなります。<ymath>$ \mu $</ymath>が<ymath>$ 0 $</ymath>のときだけ、<ymath>$ f(x)=-x $</ymath>のグラフで対称となる小さなコブができた状態でプラス側では上向きにマイナス側では下向きにコブができます。面積合計は打ち消しあって0になります。なんで、正規分布の積分をする前の<ymath>$ f(x) $</ymath>に対して<ymath>$ x $</ymath>をかけてから積分すると、これほど都合よく平均値と一致させることができるのか？確かめる必要があります。では少し確認してみることにしましょう。 | ||
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)\cdot dx = \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} f(x)\cdot dx = \int^{\infty}_{-\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
| − | + | のような形式が正規分布の関数で、一番最初に示した求めるべき結果でした。まだ証明していないのに利用するのはずるいですが、これに<ymath>$ x $</ymath>をかけると | |
<big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | <big><ymath>$$ \int^{\infty}_{-\infty} x \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{1}{2\sigma^{2}}(x-\mu)^{2}}\cdot dx $$</ymath></big> | ||
上記の式が平均値を求める式でした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | 上記の式が平均値を求める式でした。ここで、<ymath>$ z = \frac{x -\mu}{\sigma} $</ymath>…<span>(</span>2<span>)</span>という<ymath>$ z $</ymath>に置き換える式と、この式の両辺に<ymath>$ \sigma $</ymath>をかけて<ymath>$ z \cdot \sigma= \frac{x -\mu}{\sigma} \cdot \sigma $</ymath>、なので右辺の分母分子の<ymath>$ \sigma $</ymath>を約分できて1になるから<ymath>$ z \cdot \sigma= x -\mu $</ymath>となり、両辺に<ymath>$ \mu $</ymath>を足して<ymath>$ z \cdot \sigma + \mu = x $</ymath>つまり<ymath>$ x = z \cdot \sigma + \mu $</ymath>… <span>(</span>3<span>)</span>で、 <span>(</span>2<span>)</span>および<span>(</span>3<span>)</span>の式を当てはめると | ||
